A. Find The Array

题意

要你构造一个长度为$n$的数组，每个元素$a_i$满足：

  1. $a_i=1$
  2. $a_i-1$或者$a_i-2$存在于数组中

现在要你构造一个元素和为$s$的数组，问最短长度为多少

分析

贪心，让数组元素尽量大，但是因为$a_i-2$必须在数组中，所以构造的是$1,3,5,7,…$. 最后一个数如果溢出可以将其减小至和恰好为$s$，不影响性质。

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#include <bits/stdc++.h>
#define fors(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define pb push_back
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0)
#define int long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e100;
typedef long long ll;
//const ll linf = 9223372036854775807LL;
// const ll linf = 1e18;
using namespace std;
 
signed main()
{
	DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED;
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		int sum = 0;
		int n;
		cin >> n;
		for(int i = 1; ; i += 2){
			sum += i;
			if(sum >= n){
				cout << (i + 1) / 2 << endl;
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}

B. Maximum Cost Deletion

题意

给一个01串。每次操作可以选其中连续一段由相同字符构成的子串并将其删除。删除后剩下的部分保留顺序，拼接起来。每次删可以得到$a·l+b$分（$l$为删的长度）。问删完后最大得分是多少

分析

考虑串中每个元素的平均贡献，即$\frac{a·l+b}{l}=a+\frac{b}{l}$. 由此可知不管怎么删，每个元素都一定会贡献$a$分。有变数的只有$b$. 当$b\geq 0$，应让$l$尽量小来最大化分数，所以$l=1$，答案是$总长度·(a+b)$；而若$b<0$，尽量让$l$变大。所以尽可能地扩展长度，每次都把整个连续的串删掉。

这个时候，把字符串分成$x$块，每块都是最长的连续的0或者1，这些块的邻居肯定是不同字符。每次删除之后，相邻字符会拼接起来。每次一个块一个块地删，最后总共删$x/2+1$次. 则答案为$a·l+(x/2+1)·b$

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#include <bits/stdc++.h>
#define fors(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define pb push_back
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0)
#define int long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e100;
typedef long long ll;
//const ll linf = 9223372036854775807LL;
// const ll linf = 1e18;
using namespace std;
 
signed main()
{
	DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED;
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		int n, a, b;
		string s;
		cin >> n >> a >> b >> s;
		if(b > 0){
			cout << (int)s.size() * (a + b) << endl;
		}
		else{
			char now = '.';
			int cnt = 0;
			for(int i = 0; i < s.size(); ++i){
				if(s[i] != now){
					now = s[i];
					cnt++;
				}
			}
			cout << (cnt / 2LL + 1LL) * b + a * (int)s.size() << endl;
		}
	}
	return 0;
}

C. Manhattan Subarrays

题意

给数组$a$，则规定其对应了平面上$n$个点$(a_1,1),(a2,2),…(a_i,i)…$ 现在要求选出一个连续子数组，保证其长度小于3，或者从其中任选3个点$x,y,z$，不可能有$d(x,y)+d(y,z)=d(x,z)$。其中$d(x,y)$为$(a_x,x)$和$(a_y,y)$的曼哈顿距离](https://baike.baidu.com/item/曼哈顿距离/743092))，问可选出多少这样的子数组。

分析

由于各个点的$y$坐标都不一样，可以画图。随意在坐标图上画3个$y$坐标两两不同的点，改变它们$x$坐标之间的关系。可以发现，当按$y$坐标顺序看这三个点时，当且仅当它们的$x$坐标单调不下降或者单调不上升时，有$d(x,y)+d(y,z)=d(x,z)$。

那么对于长度为4的子数组，我们需要判断4次，每次从其中任选3个判断一下。

但对于长度5的数组，我们发现，不管怎么画，都必定会出现$d(x,y)+d(y,z)=d(x,z)$。

因此，满足条件的数组最长长度为4。而长度为2,1的必定符合条件，故我们只需判断长度为3,4的即可。

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#include <bits/stdc++.h>
#define fors(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++i)
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define pb push_back
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0)
#define int long long
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e100;
typedef long long ll;
//const ll linf = 9223372036854775807LL;
// const ll linf = 1e18;
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 10;
int a[maxn];
bool check(int x, int y, int z)
{
	if(a[x] <= a[y] && a[y] <= a[z]) return 0;
	if(a[x] >= a[y] && a[y] >= a[z]) return 0;
	return 1;
}
signed main()
{
	DDLC_ESCAPE_PLAN_FAILED;
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		fors(i, 1, n) cin >> a[i];
		int ans = 2 * n - 1;
		for(int len = 3; len <= 4; ++len){
			for(int l = 1; l + len - 1 <= n; ++l){
				if(len == 3 && check(l, l + 1, l + 2)) ans++;
				else if(len == 4 && (check(l, l + 1, l + 2) && check(l, l + 2, l + 3) && check(l + 1, l + 2, l + 3) && check(l, l + 1, l + 3))) ans++;
			}
		}
		cout << ans << endl;
	}
	return 0;
}